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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
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Práctica 4: Funciones exponenciales y logarítmicas

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1. Graficar, hallar conjunto de positividad, negatividad, imagen y asintotas.
d) f(x)=10xf(x)=10^{x}

Respuesta


Sabemos que el dominio de las funciones exponenciales son todos los reales. Es importante que lo recuerdes.



Hallemos el conjunto de ceros: 
 
10x=010^x = 0
log⁡(10x)=log⁡(0)\log(10^x) = \log(0)

Aplicamos la propiedad del ln:

xlog⁡(10)=log⁡(0)x \log (10) = \log (0) -> ¡absurdo!
  Esto es absurdo, pues el logaritmo natural de cero no existe. 

• C0=∅C^{0} = \emptyset



Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad:  

Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano. 

Como C0=∅C^{0} = \emptyset, eso significa que la funcion no cruza al eje xx, es decir, es totalmente positiva o totalmente negativa.

Tomamos un valor cualquier y evaluamos la función:
 f(0)=100=1f(0)=10^{0}=1 
Viendo esto, podemos decir que la funcion es totalmente positiva, o sea: • C+= ℜC^{+} =  \Re 

• C−=∅C^{-} = \emptyset



 
Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio:
y=10xy=10^x


y=10xy=10^x, en este caso no tenemos base ee, sino que tenemos base 1010, por lo tanto vamos a plantear el logaritmo en base 10 de ambos lados:

 
log⁡10(y)=log⁡10(10x)\log_{10} (y) = \log_{10} (10^x)
log⁡10(y)=xlog⁡10(10)\log_{10} (y) = x \log_{10} (10) 

log⁡10(y)=x\log_{10} (y) = x

cambio las variables: log⁡10(x)=y=f−1(x)\log_{10} (x) = y = f^{-1}(x) 
y=log⁡10(x)y = \log_{10} (x) f−1(x)=log⁡10(x)f^{-1}(x) = \log_{10} (x)
 


Calculamos su dominio:
x>0x>0


Domf−1= (0;+∞)Domf^{-1} = (0 ;+\infty)


• Imf=(0;+∞)Imf =(0 ;+\infty)
 


Asíntotas verticales: 

No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio.
• No hay AV

Asintotas Horizontales:


lim⁡x→∞10x=∞ \lim _{x \rightarrow \infty} 10^{x}=\infty Vemos que por el lado de infinito positivo no hay asintota. Sin embargo, por el lado de infinito negativo, tenemos asintota horizontal: $ \lim _{x \rightarrow-\infty} 10^{x}=10^{-\infty}=\frac{1}{10^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0
 • Hay AH en y=0y=0 por izquierda
 

La gráfica nos quedaría así:



 
2024-05-08%2012:58:10_1960953.png


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